OPÉRATEURS DIFFÉRENTIELS

Fondamentalement, ce sont des opérateurs de dérivation, dans ce chapitre nous allons établir leurs expressions dans divers systèmes de coordonnées.

L'opérateur gradient

Définition

L'opérateur gradient est un opérateur différentiel qui s'applique à un champ scalaire (fonction scalaire dépendant de l'espace et du temps) et le transforme en un champ vectoriel (vecteur dépendant de l'espace et du temps). Il se lit « gradient » ou « nabla » et se note :

\[ \overrightarrow{\text{grad}}f(\text{M},t)\quad\text{ou}\quad\overrightarrow{\nabla}f(\text{M},t) \]

Dans le système de coordonnées cartésiennes, le gradient s'exprime ainsi :

\[ \overrightarrow{\text{grad}}f(x,y,z,t) = \dfrac{\partial f(x,y,z,t)}{\partial x}\overrightarrow{u_{x}} + \dfrac{\partial f(x,y,z,t)}{\partial y}\overrightarrow{u_{y}} + \dfrac{\partial f(x,y,z,t)}{\partial z}\overrightarrow{u_{z}} \]

Les différentes expressions du gradient dans les systèmes de coordonnées utilisés couramment en physique sont présentées dans le tableau ci-dessous :

Système	\(f(\text{M},t)\)	Expression de \(\text{grad}f\)
Cartésien	\(f(x,y,z,t)\)	\(\dfrac{\partial f}{\partial x}\overrightarrow{u_{x}} + \dfrac{\partial f}{\partial y}\overrightarrow{u_{y}} + \dfrac{\partial f}{\partial z}\overrightarrow{u_{z}}\)
Cylindriques	\(f(r,\theta,z,t)\)	\(\dfrac{\partial f}{\partial r}\overrightarrow{u_{r}} + \dfrac{\partial f}{r\partial \theta}\overrightarrow{u_{\theta}} + \dfrac{\partial f}{\partial z}\overrightarrow{u_{z}}\)
Sphériques	\(f(r,\theta,\varphi,t)\)	\(\dfrac{\partial f}{\partial r}\overrightarrow{u_{r}} + \dfrac{\partial f}{r\partial \theta}\overrightarrow{u_{\theta}} + \dfrac{\partial f}{r\sin\theta\partial \varphi}\overrightarrow{u_{\varphi}}\)

Propriétés

L'opérateur gradient est un opérateur linéaire et vérifie donc :

\[ \overrightarrow{\nabla}(\alpha f + \beta g) = \alpha \overrightarrow{\nabla}f + \beta \overrightarrow{\nabla}g \quad\text{avec}\quad (\alpha, \beta) \in \mathbb{R}^2 \]

Le gradient d'un produit de champs scalaires vaut :

\[ \overrightarrow{\nabla}(f \cdot g) = f \overrightarrow{\nabla}g + g \overrightarrow{\nabla}f \]

où \(f\) et \(g\) sont deux fonctions de l'espace et du temps.

Lien avec la différentielle -- On peut définir le gradient à partir de sa relation avec la différentielle. Soit \(M\) un point de l'espace et \(M'\) un point infiniment voisin, la différentielle \(\text{d}f\) représente la variation du champ scalaire \(f\) lorsque l'on se déplace de \(M\) à \(M'\) à \(t\) fixé :

\[ \text{d}f \stackrel{\text{def}}{=} f(\text{M}',t) - f(\text{M},t) = \overrightarrow{\nabla}f(\text{M},t) \cdot \overrightarrow{\text{d}\ell} \quad\text{avec}\quad \overrightarrow{\text{d}\ell} = \overrightarrow{\text{MM'}} \]

En conséquence :

Le vecteur \(\overrightarrow{\nabla}f(\text{M},t)\) est perpendiculaire à la surface de niveau de \(f\) passant par \(M\) à l'instant \(t\).
Le vecteur gradient est orienté vers les valeurs croissantes de \(f\) et sa norme mesure le taux de variation spatiale dans la direction de plus grande pente :

\[ \left\| \overrightarrow{\nabla}f \right\| = \dfrac{\text{d}f}{\text{d}\ell} \]